AK-dream

【题目描述】
给定一个整数$k$.求一个$k$的整数倍$sum$,使得$sum$的数字和最小

题解


考试的时候想尽一切办法枚举,卡时 最多卡到70pts

其实如果把那几个最毒瘤的数放上去完全可以把暴力卡掉

正解是要建图跑最短路

考虑 $sum$ 在模 $k$ 意义下的值

我们建立 $k$ 个节点 编号为 $0\sim n-1$

对于每个$i$ 连一条$i$到$(i+1)\operatorname{mod} k$的边 边权为$1$ 表示$sum+1$ 数字和也$+1$

再连一条$i$到$i* 10\operatorname{mod} k$的边 边权为$0$ 表示$sum* 10$ 数字和不变

然后从节点$0$开始 因为第一步肯定走$0$到$1$的边(你让$0* 10$也没有意义) 所以跑一次节点$1$到节点$0$的最短路即可 到节点$0$时$sum$肯定是被$k$整除的 满足题意

有人可能会问 万一连续走了$10$次第一类边 导致加法进位了怎么办

由于我们是在图上跑最短路 连续走$10$次第一类边($sum+1+1+1\dots +1$) 边权和为$10$ 一定是不如走一次第一类边再走一次第二类边($(sum+1)* 10$) 到达的是图上的同一个点 但是第二种走法边权和仅为$1$ 所以$1$到$0$的最短路中一定不会有连续走$10$次第一类边的情况

所以此题的答案就是$0$号节点到$1$号节点的最短路长度+1

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int, int> pii;

inline int read() {
int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
for (; ch > '9' || ch < '0'; ch = getchar()) if (ch == '-') f = -1;
for (; ch <= '9' && ch >= '0'; ch = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ '0');
return x * f;
}

int n, ans;
int head[100005], pre[2000005], to[2000005], val[2000005], sz;
int dis[100005];
bool vis[100005];

inline void addedge(int u, int v, int w) {
pre[++sz] = head[u]; head[u] = sz; to[sz] = v; val[sz] = w;
}

priority_queue<pii, vector<pii> , greater<pii> > q;

inline void dijkstra(int st) {
memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
memset(vis, 0, sizeof(vis));
q.push(make_pair(0, st));
dis[st] = 1;
while (!q.empty()) {
int x = q.top().second;
q.pop();
if (vis[x]) continue;
else vis[x] = 1;
for (int i = head[x]; i; i = pre[i]) {
int y = to[i];
if (dis[x] + val[i] < dis[y]) {
dis[y] = dis[x] + val[i];
q.push(make_pair(dis[y], y));
}
}
}
}

int main() {
#ifdef ONLINE_JUDGE
freopen("K.in", "r", stdin); freopen("K.out", "w", stdout);
#endif
n = read();
for (int i = 0; i < n; i++) {
addedge(i, (i + 1) % n, 1);
addedge(i, (i * 10) % n, 0);
}
dijkstra(1);
printf("%d\n", dis[0]);
return 0;
}

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