AK-dream

题目描述

一场地震把约翰家的牧场摧毁了, 坚强的约翰决心重建家园。 约翰已经重建了 $n$ 个牧场,现在他希望能修建一些道路把它们连接起来。研究地形之后,约翰发现可供修建的道路有 $m$ 条。碰巧的是,奶牛们最近也成立一个工程队,专门从事修复道路。而然,奶牛们很有经济头脑,如果无利可图,它们是不会干的。

奶牛们关注的是挣钱速度,即总利润和总施工时间的比值。约翰和奶牛达成了协议,奶牛负责修建道路,将所有牧场连通,而约翰需要支付 $f$ 元。每条道路都有自己的施工时间和建造成本。连接两个相同的牧场的道路可能有多条。保证所有的牧场必定是可连通的,不过也有可能一些道路的建造成本之和会超过 $f$。

请帮助奶牛们选择修复哪些道路,才能使单位时间的利润最大?

输入格式

第一行三个整数 $n,m,f$。

第二行到第 $m+1$ 行,第 $i+1$ 行表示第 $i$ 条道路的信息。每行有四个整数 $u_i,v_i,c_i,t_i$, $u_i$ 和 $v_i$ 表示这条道路连接的牧场编号,$c_i$ 表示修建道路的成本,$t_i$ 表示道路修建所需要的时间。

输出格式

第一行,一个保留四位小数的浮点数,表示奶牛们能挣到的最大单位时间利润,如果奶牛们无钱可赚,则输出 0.0000

题解

我们想要求出 $\dfrac{f-\sum c_ix_i}{\sum t_ix_i}$ 的最大值,其中 $x_i=0$ 或 $1$ 表示第 $i$ 条路修或者不修

不妨设最大值为 $P$,则有 $\dfrac{f-\sum c_ix_i}{\sum t_ix_i} \le P$

变形一下得 $\sum x_i(P*t_i+c_i) \ge f$

二分答案 $mid$ 放到不等式中代替 $P$,如果 $mid < P$,那么不等式左边就会偏小,我们需要找到有没有一种分配 $x_i$ 的情况使得这个不等式不成立,即 $\sum x_i(Pt_i+c_i) < f$

如果能找到这样的解,则表示 $mid < P$,否则 $mid \ge P$

由于我们想让左式尽可能小,所以把每条边的边权重新设为 $mid*t_i+c_i$,然后再跑最小生成树求出左式的最小值

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

template<typename T>
inline void read(T &num) {
T x = 0, f = 1; char ch = getchar();
for (; ch > '9' || ch < '0'; ch = getchar()) if (ch == '-') f = -1;
for (; ch <= '9' && ch >= '0'; ch = getchar()) x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ '0');
num = x * f;
}

int n, m, F;

struct edge{
int u, v, c, t;
double val;
bool operator < (const edge b) const {
return val < b.val;
}
} e[10005];

int fa[405];
int find(int x) {
return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}
bool check(double k) {
for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
e[i].val = e[i].c * 1.0 + k * e[i].t;
}
sort(e + 1, e + m + 1);
double ret = 0;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int tx = find(e[i].u), ty = find(e[i].v);
if (tx != ty) {
ret += e[i].val;
fa[ty] = tx;
}
}
return ret < F;
}

int main() {
read(n); read(m); read(F);
for (int i = 1; i <= m; i++) {
read(e[i].u); read(e[i].v); read(e[i].c); read(e[i].t);
}
double l = 0, r = 2e9, mid = 0;
while (r - l > 1e-7) {
mid = (l + r) / 2;
if (check(mid)) {
l = mid + 0.000001;
} else r = mid - 0.000001;
}
printf("%.4lf\n", l);
return 0;
}

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