AK-dream

【题目描述】

给出 $n$ 个数 $q_1,q_2, \dots q_n$,定义

$F_j~=~\sum\limits_{i = 1}^{j - 1} \frac{q_i \times q_j}{(i - j)^2}~-~\sum\limits_{i = j + 1}^{n} \frac{q_i \times q_j}{(i - j)^2}$

$E_i~=~\frac{F_i}{q_i}$

对 $1 \leq i \leq n$,求 $E_i$ 的值。

【输入格式】

第一行输入一个整数 $n$。

以下 $n$ 行,每行有一个实数。第 $i+1$ 行的数代表 $q_i$。

【输出格式】

输出 $n$ 行每行一个实数,第 $i$ 行的数字代表 $E_i$。

当你的输出与标准答案相差不超过 $10^{-2}$ 即为正确。

题解

$E_i=\frac{F_i}{q_i}$ 上下都有$q_i$ 直接扔掉即可

$E_i=\sum\limits_{j = 1}^{i - 1} \frac{q_j}{(i - j)^2}~-~\sum\limits_{j = i + 1}^{n} \frac{q_j}{(i - j)^2}$

$E_i=\sum\limits_{j = 1}^{i} \frac{q_j}{(i - j)^2}~-~\sum\limits_{j = i}^{n} \frac{q_j}{(i - j)^2}$

令$f[j]=q[j],~g[j]=\frac{1}{j^2}$,特殊地,$f[0]=g[0]=0$

$E_i=\sum\limits_{j = 0}^{i} f[j]*g[i-j]~-~\sum\limits_{j = i}^{n} f[j]*g[j-i]$

$E_i=\sum\limits_{j = 0}^{i} f[j]*g[i-j]~-~\sum\limits_{j = 0}^{n-i} f[j+i]*g[j]$

令$h[j]=f[n-j]$,

$E_i=\sum\limits_{j = 0}^{i} f[j]*g[i-j]~-~\sum\limits_{j = 0}^{n-i} h[(n-i)-j]*g[j]$

这样两个$\sum$都是卷积形式了 FFT乱搞即可

注意细节和精度。。。

代码

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const double pi = acos(-1.0);
int n, m, lim, l, rev[1000005];

struct comp {
double x,y;
comp(double xx = 0, double yy = 0): x(xx), y(yy) {}
} a[1000005], b[1000005], cc[1000005];

inline comp operator + (comp p, comp q) { return comp(p.x+q.x , p.y+q.y); }
inline comp operator - (comp p, comp q) { return comp(p.x-q.x , p.y-q.y); }
inline comp operator * (comp p, comp q) { return comp(p.x*q.x-p.y*q.y , p.x*q.y+p.y*q.x); }

void FFT(comp *c, int tp) {
for (int i = 0; i < lim; i++) {
if (i < rev[i]) swap(c[i], c[rev[i]]);
}
for (int mid = 1; mid < lim; mid <<= 1) {
comp wn = comp(cos(pi / mid), sin(pi / mid) * tp);
for (int r = mid<<1, j = 0; j < lim; j += r) {
comp w = comp(1, 0);
for (int k = 0; k < mid; k++, w = w * wn) {
comp x = c[j+k], y = w * c[j+k+mid];
c[j+k] = x + y;
c[j+k+mid] = x - y;
}
}
}
}

int main() {
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%lf", &a[i].x);
cc[n-i].x = a[i].x;
b[i].x = (double)(1.0 / i / i);
}
lim = 1;
while (lim <= n + n) {
lim <<= 1;
l++;
}
for (int i = 0; i < lim; i++) {
rev[i] = (rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
}
FFT(a, 1); FFT(b, 1); FFT(cc, 1);
for (int i = 0; i < lim; i++) {
a[i] = a[i] * b[i];
cc[i] = cc[i] * b[i];
}
FFT(a, -1); FFT(cc, -1);
for (int i = 0; i < lim; i++) {
a[i].x /= lim; cc[i].x /= lim;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
printf("%.3lf\n", a[i].x - cc[n-i].x);
}
return 0;
}

 评论