诗人小G[NOI2009]

AK-dream

发布于：2020年2月25日

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【题目描述】
小 G 是一个出色的诗人，经常作诗自娱自乐。但是，他一直被一件事情所困扰，那就是诗的排版问题。

一首诗包含了若干个句子，对于一些连续的短句，可以将它们用空格隔开并放在一行中，注意一行中可以放的句子数目是没有限制的。小 G 给每首诗定义了一个行标准长度（行的长度为一行中符号的总个数），他希望排版后每行的长度都和行标准长度相差不远。显然排版时，不应改变原有的句子顺序，并且小 G 不允许把一个句子分在两行或者更多的行内。在满足上面两个条件的情况下，小 G 对于排版中的每行定义了一个不协调度, 为这行的实际长度与行标准长度差值绝对值的$P$次方，而一个排版的不协调度为所有行不协调度的总和。

小 G 最近又作了几首诗，现在请你对这首诗进行排版，使得排版后的诗尽量协调（即不协调度尽量小），并把排版的结果告诉他。

【输入格式】

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题目描述
小 G 是一个出色的诗人，经常作诗自娱自乐。但是，他一直被一件事情所困扰，那就是诗的排版问题。

一首诗包含了若干个句子，对于一些连续的短句，可以将它们用空格隔开并放在一行中，注意一行中可以放的句子数目是没有限制的。小 G 给每首诗定义了一个行标准长度（行的长度为一行中符号的总个数），他希望排版后每行的长度都和行标准长度相差不远。显然排版时，不应改变原有的句子顺序，并且小 G 不允许把一个句子分在两行或者更多的行内。在满足上面两个条件的情况下，小 G 对于排版中的每行定义了一个不协调度, 为这行的实际长度与行标准长度差值绝对值的 PP 次方，而一个排版的不协调度为所有行不协调度的总和。

小 G 最近又作了几首诗，现在请你对这首诗进行排版，使得排版后的诗尽量协调（即不协调度尽量小），并把排版的结果告诉他。

【输入格式】
输入文件中的第一行为一个整数$T$，表示诗的数量。

接下来为$T$首诗，这里一首诗即为一组测试数据。每组测试数据中的第一行为三个由空格分隔的正整数$N,L,P$，其中：$N$表示这首诗句子的数目，$L$表示这首诗的行标准长度，$P$的含义见问题描述。

从第二行开始，每行为一个句子，句子由英文字母、数字、标点符号等符号组成（ASCII 码$33～127$，但不包含 -）。

【输出格式】
于每组测试数据，若最小的不协调度不超过$10^{18}$，则第一行为一个数，表示不协调度。接下来若干行，表示你排版之后的诗。注意：在同一行的相邻两个句子之间需要用一个空格分开。

如果有多个可行解，它们的不协调度都是最小值，则输出任意一个解均可。若最小的不协调度超过$10^{18}$，则输出 Too hard to arrange。
每组测试数据结束后输出 --------------------，共20个 -，- 的 ASCII 码为 45，请勿输出多余的空行或者空格。

$n\le 10^5, l\le 3*10^6, p\le 10$

题解

直接DP显然是$O(n^2)$的 对于这道题我们实际上可以使用决策单调性优化复杂度。

注意到上面的那个转移方程 每个$dp[i]$通过枚举前面的$i-1$个$j$取最小得到 我们把$dp[i]$取到最小的那个$j$记为$p[i]$，这个东西就叫决策。

如果一个DP满足决策单调性，这就是说这个DP满足$p[1]\le p[2]\le \cdots \le p[n]$。

怎么证明一个DP方程是否满足决策单调性？

一个DP方程可以表示成$dp[i]=\min\limits_{j=1}^{i-1}(dp[j]+w(j,i))$ (这道题中$w(j,i)=|sum[i]-sum[j]+(i-j-1)-l|^p$) ，且对于任意的整数$a,b(a<b)$，都有$w(a,b+1)+w(a+1,b)\ge w(a,b)+w(a+1,b+1)$，那么这个DP方程满足决策单调性。

这道题的DP是满足决策单调性的，证明太长不证了，可以由打表得出结论。

那么这有什么好处呢

我们把最终的$p$数组列出来，大概就长这样：$1,1,2,2,3,3,3,\cdots$

因为它是单调不降的 所以我们可以二分出 对于两个数$a,b$，从哪个$dp[i]$开始 用$a$作为$dp[i]$的决策 不如 用$b$作为$dp[i]$的决策。

比如上面那个$p$数组的例子 从$dp[5]$开始 以$2$作为决策就不如$3$了

那么我们就可以通过维护一个单调队列来维护枚举到的$dp[i]$的最优决策是什么了 队列中的每个元素维护两个值 一个是下标$id$，另一个数$st$表示从$dp[st[i]]$开始到$dp[st[i+1]-1]$为止 决策选择$id[i]$是最优的

具体的说 假设现在正在计算$dp[5]$，$p$数组前四个是$1,1,1,2$那么队列里可能会是这样：

第一个元素$id[1]=1$$st[1]=1$表示从$dp[st[1]]$开始 到$dp[st[2]-1]$为止 选择$1$为决策最优 第二个元素$id[2]=2$$st[2]=4$同理

那么现在要推出$dp[5]$由于选择$1$为决策最优的范围是$st[1]\sim st[2]$也就是$1\sim 4$那么决策$1$对$dp[5]$已经没用了 所以从队头弹出。

此时队头元素的$id$是$2$那么就表明$p[5]=2$$dp[5]$从$dp[2]$转移过来最优 我们让$dp[5]=dp[2]+|sum[5]-sum[2]+(5-2-1)-l|^p$

然后我们要看看$5$作为决策会不会比$2$好 由于决策单调性 我们可以二分出$l(l>5)$表示从$l$开始 决策选择$5$比选择$2$更优 如果此时$l<st[2]$那就说明$5$整个就是比$2$要优的 直接把$2$从队尾弹出

把所有要弹的弹出去之后 就在队尾插入这个新增的元素 基本就和普通的单调队列差不多吧。。。

请结合代码食用(感觉代码写的还是很易懂的)

【代码】

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long double db;

int ttt, n, L, p, sum[100005], ans[100005]; 
char s[100005][40];
int q[100005], st[100005], head, tail;
db dp[100005];

inline db fpow(db x, int t) {
	db ret = 1.0;
	for (; t; t >>= 1, x *= x) if (t & 1) ret *= x;
	return ret;
}

inline db cal(int j, int i) {
	return dp[j] + fpow(fabs(sum[i] - sum[j] + (i - j - 1) - L), p);
}

inline int find(int j, int i) {
	if (cal(j, n) < cal(i, n)) return n + 1;
	int l = i, r = n, mid, anss;
	while (l <= r) {
		mid = (l + r) >> 1;
		if (cal(j, mid) >= cal(i, mid)) {
			anss = mid;
			r = mid - 1;
		} else l = mid + 1;
	}
	return anss;
} 

int main() {
	scanf("%d", &ttt);
	while (ttt--) {
		scanf("%d%d%d", &n, &L, &p);
		for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%s", s[i]+1), sum[i] = sum[i-1] + strlen(s[i]+1);
		head = 1, q[tail=1] = 0, st[1] = 1;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			while (head < tail && st[head+1] <= i) head++; 
            //把 当前head覆盖区间整个都在i前面的head弹出
			ans[i] = q[head];
			dp[i] = cal(q[head], i);
			while (head < tail && st[tail] >= find(q[tail], i)) tail--; 
            //把 当前tail覆盖区间内的全部dp[j] 通过id[tail]转移都不如通过i转移 的tail弹出
			q[++tail] = i; st[tail] = find(q[tail-1], q[tail]);
		} 
		if (dp[n] > 1e18) puts("Too hard to arrange");
		else {
			printf("%lld\n", (long long)dp[n]);
			tail = 0;
			for (int i = n; i; i = ans[i]) {
				q[++tail] = i;
			}
			head = tail;
			for (int i = 1; i <= n; i++) {
				printf("%s", s[i]+1);
				if (i == q[head]) {
					head--; puts("");
				} else putchar(' ');
			}
		}
		puts("--------------------");
	}
	return 0;
}

更新于：2020年9月7日

动态规划