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配对[SCOI2008]

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发布于：2019年8月28日
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【题目描述】
你有$n$个整数$A_i$和$n$个整数$B_i$。你需要把它们配对，即每个$A_i$恰好对应一 个$B_i$。要求所有配对的整数差的绝对值之和尽量小，但不允许两个相同的数配对。例如$A={5,6,8}，B={5,7,8}$，则最优配对方案是$5$配$8$,$6$配$5$,$8$配$7$，配对整数的差的绝对值分别为$2, 2, 1$，和为$5$。注意，$5$配$5$，$6$配$7$，$8$配$8$是不允许的，因 为相同的数不许配对。

【输入格式】
第一行为一个正整数$n$，接下来是$n$行，每行两个整数$A_i$和$B_i$，保证所有$A_i$各不相同，$B_i$也各不相同。

【输出格式】
输出一个整数，即配对整数的差的绝对值之和的最小值。如果无法配对，输出$-1$。

【数据范围】
$1 \le n \le 10^5$，$A_i$和$B_i$均为$1$到$10^6$之间的整数。

关于此题
没想到吧！又是DP

首先 先对$A,B$数组进行排序。如果没有限制条件的话,明显最优解就是排序后的每个A[i]和每个B[i]配对。
加上限制条件之后
对于某个位置$i$
$1.$如果$A[i-1] = B[i-1]$那么我们可以让$A[i-1]$和$B[i]$配对，让$A[i]$和$B[i-1]$配对。
$2.$如果$A[i-1] = B[i-1]$且$A[i-2] = B[i-2]$那就可以让$A[i-2], B[i-1]$，$A[i-1], B[i]$,$A[i], B[i-2]$分别配对
或是让$A[i-2], B[i]$，$A[i-1], B[i-2]$,$A[i], B[i-1]$分别配对
$3.$如果有更多连续相等的，都可以把它们转化成上面的两种情况进行处理，不需要再分开考虑

得到转移方程为
$dp[i] = min(dp[i-1] + calc(A[i], B[i]), dp[i-2] + calc(A[i-1], B[i]) + calc(A[i], B[i-1]), dp[i-3] + calc(A[i-2], B[i-1]) + calc(A[i-1], b[i]) + calc(A[i], b[i-2]), dp[i-3] + calc(A[i-2], B[i]) + calc(A[i-1], b[i-2]) + calc(A[i], b[i-1]))$;
$calc(x, y)$在$x = y$时返回无穷大。

【代码】

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

const ll inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
ll n, a[100005], b[100005], dp[100005];

inline ll _abs(ll x) {
    return x < 0 ? -x : x;
}

inline ll calc(ll a, ll b) {
    if (a == b) return inf;
    else return _abs(a - b);
}

int main() {
    scanf("%lld", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%lld %lld", &a[i], &b[i]);
    }
    sort(a + 1, a + n + 1);
    sort(b + 1, b + n + 1);
    dp[1] = calc(a[1], b[1]);
    dp[2] = min(dp[1] + calc(a[2], b[2]), calc(a[1], b[2]) + calc(a[2], b[1]));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i] = inf;
        dp[i] = min(dp[i], dp[i-1] + calc(a[i], b[i]));
        dp[i] = min(dp[i], dp[i-2] + calc(a[i-1], b[i]) + calc(a[i], b[i-1]));
        dp[i] = min(dp[i], dp[i-3] + min(calc(a[i-2], b[i-1]) + calc(a[i-1], b[i]) + calc(a[i], b[i-2]), calc(a[i-2], b[i]) + calc(a[i-1], b[i-2]) + calc(a[i], b[i-1])));
    }
    if (dp[n] >= inf) puts("-1");
    else printf("%lld\n", dp[n]);
    return 0;
}

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更新于：2020年9月7日

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