题目描述

在数轴上有个闭区间从编号,第个闭区间为

现在要从中选出个区间,使得这个区间共同包含至少一个位置。换句话说,就是使得存在一个,使得对于每一个被选中的区间

对于一个合法的选取方案,它的花费为被选中的最长区间长度减去被选中的最短区间长度。区间的长度定义为即等于它的右端点的值减去左端点的值。

求所有合法方案中最小的花费。如果不存在合法的方案,输出

输入格式

第一行包含两个整数,分别代表

到第行,每行两个整数表示一个区间,第行的整数分别代表第个区间的左右端点。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

题解

将区间按长度从小到大排序,记为

假设最后选的区间中长度最短和最长的分别是,那么答案就是的长度减的长度,在中选哪些并不会给答案造成影响

判定一个答案是否合法的方法:假设现在有一个长度为1e9的序列,每个位置的值都是,如果我们对于的每个区间,都把这个区间中的每个位置+1,那么操作完后如果有某个位置的值大于,那么就说明这个位置被中的至少个区间覆盖了,也就是说存在一种合法方案只选择了中的区间,就可以用 (的长度减的长度) 来更新答案

如果选择的最短区间为时,使得代价最小的方案中选择的的最长区间是,那么选择的最短区间固定为时,此时的最优方案选择的最长区间一定比

证明:假设最短区间固定为时,此时的最优方案选择的最长区间是,且,那么按照上面那个判合法性的方法,选择也一定是合法的,矛盾

所以可以使用双指针的方法,每次固定左指针(即最短区间),然后移动右指针找到第一个满足条件的最长区间,然后更新答案

上面的判定合法的方法需要区间加,查询全局最大值,用线段树维护即可

为方便线段树维护,可以先给区间端点进行离散化

代码

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#include <bits/stdc++.h>
#define N 1000005
using namespace std;

template <typename T>
inline void read(T &num) {
T x = 0, f = 1; char ch = getchar();
for (; ch > '9' || ch < '0'; ch = getchar()) if (ch == '-') f = -1;
for (; ch <= '9' && ch >= '0'; ch = getchar()) x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ '0');
num = x * f;
}

int n, m, len[N], srt[N], mx;
struct intv {
int l, r;
} p[N];
bool cmp(intv x, intv y) { return x.r-x.l < y.r-y.l; }

void fCuCcFk() {
for (int i = 1; i <= n; i++) srt[++mx] = p[i].l, srt[++mx] = p[i].r;
sort(srt+1, srt+mx+1);
mx = unique(srt+1, srt+mx+1) - srt - 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
len[i] = p[i].r - p[i].l + 1;
p[i].l = lower_bound(srt+1, srt+mx+1, p[i].l) - srt;
p[i].r = lower_bound(srt+1, srt+mx+1, p[i].r) - srt;
}
}

struct segtree {
int mx, tag;
} tr[N<<2];
void build(int ind, int l, int r) {
tr[ind].mx = tr[ind].tag = 0; if (l == r) return;
int mid = (l + r) >> 1;
build(ind<<1, l, mid); build(ind<<1|1, mid+1, r);
}
inline void pushdown(int ind) {
if (!tr[ind].tag) return; int v = tr[ind].tag; tr[ind].tag = 0;
tr[ind<<1].mx += v; tr[ind<<1].tag += v;
tr[ind<<1|1].mx += v; tr[ind<<1|1].tag += v;
}
void update(int ind, int l, int r, int x, int y, int v) {
if (x <= l && r <= y) {
tr[ind].mx += v; tr[ind].tag += v; return;
}
pushdown(ind); int mid = (l + r) >> 1;
if (x <= mid) update(ind<<1, l, mid, x, y, v);
if (mid < y) update(ind<<1|1, mid+1, r, x, y, v);
tr[ind].mx = max(tr[ind<<1].mx, tr[ind<<1|1].mx);
}

int main() {
read(n); read(m);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
read(p[i].l); read(p[i].r);
}
sort(p + 1, p + n + 1, cmp);
fCuCcFk(); int ans = 0x3f3f3f3f;
build(1, 1, mx);
update(1, 1, mx, p[1].l, p[1].r, 1);
for (int i = 1, j = 1; i <= n; i++) {
while (j < n && tr[1].mx < m) {
j++;
update(1, 1, mx, p[j].l, p[j].r, 1);
}
if (tr[1].mx >= m) ans = min(ans, len[j] - len[i]);
update(1, 1, mx, p[i].l, p[i].r, -1);
}
printf("%d\n", ans == 0x3f3f3f3f ? -1 : ans);
return 0;
}

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